2015高考数学（文）（几何证明选讲）一轮复习学案

学案74　几何证明选讲 <br />‎(二)直线与圆的位置关系 <br /> <br />导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．‎ <br /> <br />自主梳理 <br />‎1．圆周角、弦切角及圆心角定理 <br />‎(1)__________的度数等于其的对______的度数的一半．‎ <br />推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角__________相等．‎ <br />推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或__________)．‎ <br />‎(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____．‎ <br />‎(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ <br />‎2．圆中比例线段有关定理 <br />‎(1)相交弦定理：______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积相等．‎ <br />‎(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________．‎ <br />‎(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ <br />温馨提示　相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．‎ <br />‎3．切线长定理 <br />从________一点引圆的两条切线，__________相等．‎ <br />‎4．圆内接四边形的性质与判定定理 <br />‎(1)性质定理：圆内接四边形的对角________．‎ <br />推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________．‎ <br />‎(2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于____．‎ <br />推论：如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点________．‎ <br />‎5．圆的切线的性质及判定定理 <br />‎(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．‎ <br />推论1：经过________且________与垂直的直线必经过切点．‎ <br />推论2：经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________．‎ <br />‎(2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．‎ <br />自我检测 <br /> <br />‎1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A＝________.‎ <br />‎2．(2010&middot;南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为________．‎ <br /> <br /> <br /> <br />‎3．(2011&middot;湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．‎ <br />‎4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________.‎ <br /> <br /> <br />‎5．(2010&middot;揭阳模拟)如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.‎ <br />探究点一　与圆有关的等角、等弧、等弦的判定 <br /> <br /> <br />例1 如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝CD.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />变式迁移1 在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N；若AC＝AB，求证：BN＝3MN.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />探究点二　四点共圆的判定 <br /> <br />例2 如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，∠AED，∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：四边形ABCD内接于圆．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />变式迁移2 如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ <br />‎(1)证明：A，P，O，M四点共圆；‎ <br />‎(2)求∠OAM＋∠APM的大小．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />探究点三　与圆有关的比例线段的证明 <br /> <br /> <br />例3 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：‎ <br />‎(1)AD＝AE；‎ <br />‎(2)AD2＝DB&middot;EC.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />变式迁移3 (2010&middot;全国)‎ <br /> <br />如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：‎ <br />‎(1)∠ACE＝∠BCD；‎ <br />‎(2)BC2＝BE×CD.‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />‎1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递．‎ <br />...