2015高考数学（文）（专题五 高考中的圆锥曲线）一轮专题练习题

专题五　高考中的圆锥曲线问题 <br /> <br />‎1.已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F‎2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.‎ <br />答案　8‎ <br />解析　由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)‎ <br />‎＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝‎2a＋‎2a，‎ <br />又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，‎ <br />即|AB|＝8.‎ <br />‎2.设AB为过抛物线y2＝2px(p&gt;0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 (　　)‎ <br />A. B.p C.2p D.无法确定 <br />答案　C <br />解析　当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，‎ <br />这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p.‎ <br />‎3.若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 (　　)‎ <br />A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.6‎ <br />答案　B <br />解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝＝，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝＝，所以＝，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为‎2a＝2.‎ <br />‎4.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 (　　)‎ <br /> <br />A.(－2,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(－1,2)‎ <br />答案　B <br />解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，‎ <br />AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，‎ <br />‎∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，‎ <br />当且仅当A、P、N三点共线时取等号.‎ <br />‎∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，‎ <br />则可排除A、C、D，故选B.‎ <br />‎5.设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则&middot;等于 (　　)‎ <br />A. B.－ C.3 D.－3‎ <br />答案　B <br />解析　方法一　(特殊值法)‎ <br />抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)，‎ <br />‎∴&middot;＝&middot;＝－1＝－.‎ <br />方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ <br />则&middot;＝x1x2＋y1y2.‎ <br />由抛物线的过焦点的弦的性质知：‎ <br />x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1.‎ <br />‎∴&middot;＝－1＝－.‎ <br /> <br />题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题 <br />例1　(2012&middot;浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛 ‎ <br />物线C：y2＝2px(p&gt;0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B <br />是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上.‎ <br />‎(1)求曲线C的方程及t的值；‎ <br /> <br />‎(2)记d＝，求d的最大值.‎ <br />思维启迪　(1)依条件，构建关于p，t的方程；‎ <br />‎(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值.‎ <br />解　(1)y2＝2px(p&gt;0)的准线x＝－，‎ <br />‎∴1－(－)＝，p＝，‎ <br />‎∴抛物线C的方程为y2＝x. ‎ <br />又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.‎ <br />‎(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，‎ <br />依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，‎ <br />设直线AB的斜率为k(k≠0).‎ <br />且A(x1，y1)，B(x2.y2)，‎ <br />由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k&middot;‎2m＝1，‎ <br />所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，‎ <br />即x－2my＋‎2m2‎－m＝0.‎ <br />由消去x，‎ <br />整理得y2－2my＋‎2m2‎－m＝0，‎ <br />所以Δ＝‎4m－‎4m2‎&gt;0，y1＋y2＝‎2m，y1y2＝‎2m2‎－m.‎ <br />从而|AB|＝ &middot;|y1－y2|＝&middot; <br />‎＝2 <br />‎∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，‎ <br />当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，‎ <br />又m＝满足Δ＝‎4m－‎4m2‎&gt;0.∴d的最大值为1.‎ <br />思维升华　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.‎ <br /> <br /> <br />‎　椭圆C：＋＝1的左顶点、右焦点分别为A，F，直线的方程为x＝9，N为直 <br />线上一点，且在x轴的上方，AN与椭圆交于M点．‎ <br />‎(1)若M是AN的中点，求证：MA⊥MF.‎ <br />‎(2)过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围．‎ <br />‎(1)证明　由题意得A(－6,0)，F(4,0)，xN＝9，‎ <br />‎∴xM＝，‎ <br />又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM＝，‎ <br />‎∴＝(－，－)，＝(，－)，‎ <br />‎∴&middot;＝－＋＝0，∴MA⊥MF.‎ <br />‎(2)解　方法一　设N(9，t)...