2015高考数学（文）（专题一 高考中的导数应用）一轮专题练习题

专题一　高考中的导数应用问题 <br /> <br />‎1． 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　　)‎ <br />A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ <br />答案　D <br />解析　函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)&middot;ex]′＝1&middot;ex＋(x－3)&middot;ex＝(x－2)ex.‎ <br />由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)&gt;0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex&gt;0，解得x&gt;2.‎ <br />‎2．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是 (　　)‎ <br />A．(0,1) B．(－∞，1)‎ <br />C．(0，＋∞) D. <br />答案　D <br />解析　f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f′(x)＝3x2－6b，‎ <br />由题意，得函数f′(x)的草图如图，‎ <br />‎∴　即 <br />解得0&lt;b&lt;.故选D.‎ <br />‎3． 函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 (　　)‎ <br />A．20 B．‎18 ‎ C．3 D．0‎ <br />答案　A <br />解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．‎ <br />又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.‎ <br />由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，‎ <br />所以t的最小值是20.‎ <br />‎4． 已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________．‎ <br /> <br />答案　[e，＋∞)‎ <br />解析　f′(x)＝＝，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－ln x，φ(x)max＝1，故ln a≥1，a≥e.‎ <br />‎5． 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．‎ <br />答案　[－2，－1]‎ <br />解析　由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，‎ <br />故－m＋n＝2.①‎ <br />又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3，‎ <br />故‎3m－2n＝－3.②‎ <br />联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，‎ <br />令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，‎ <br />则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，‎ <br />所以t∈[－2，－1].‎ <br /> <br />题型一　利用导数研究函数的单调性 <br />例1　设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.‎ <br />‎(1)若a＝，求f(x)的单调区间；‎ <br />‎(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．‎ <br />思维启迪　求出f′(x)，分析函数的单调性，得出结论．‎ <br />解　(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，‎ <br />f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．‎ <br />当x∈(－∞，－1)时，f′(x)&gt;0；当x∈(－1,0)时，f′(x)&lt;0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)&gt;0.‎ <br />故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．‎ <br />‎(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)&gt;0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.‎ <br />若a&gt;1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)&lt;0，g(x)为减函数， ‎ <br /> <br />而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)&lt;0，即f(x)&lt;0.‎ <br />综合得a的取值范围为(－∞，1]．‎ <br />思维升华　(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)&gt;0或f′(x)&lt;0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．‎ <br />‎(2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解． ‎ <br />‎　已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.‎ <br />‎(1)求a的值；‎ <br />‎(2)求函数f(x)的单调区间；‎ <br />‎(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)&middot;ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．‎ <br />解　(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，‎ <br />得f′(x)＝3x2＋2ax－1.‎ <br />当x＝时，得a＝f′＝3×2＋‎2a×－1，‎ <br />解之，得a＝－1.‎ <br />‎(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.‎ <br />则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：‎ <br />x <br />‎(－∞，－)‎ <br />‎－ <br />‎(－，1)‎ <br />‎1‎ <br />‎(1，＋∞)‎ <br />f′(x)‎ <br />‎＋‎ <br />‎0‎ <br />‎－‎ <br />‎0‎ <br />‎＋‎ <br />f(x)‎ <br />‎↗‎ <br />极大值 <br />‎↘‎ <br />极小值 <br />‎↗‎ <br />所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－...