2015高考数学（文）（不等式的证明及著名不等式）一轮专题练习题

不等式的证明及著名不等式 <br /> <br /> <br />‎1．基本不等式 <br />‎(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ <br />‎(2)定理(基本不等式)：如果a，b&gt;0，那么____，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均．‎ <br />‎(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，‎ <br />‎①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值；‎ <br />‎②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值．‎ <br />‎2．三个正数的算术&mdash;几何平均不等式 <br />‎(1)定理　如果a，b，c均为正数，那么____，当且仅当________时，等号成立．‎ <br />即三个正数的算术平均________它们的几何平均．‎ <br />‎(2)基本不等式的推广 <br />对于n个正数a1，a2，&hellip;，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即____，‎ <br />当且仅当______________时，等号成立．‎ <br />‎3．柯西不等式 <br />‎(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．‎ <br />‎(2)设a1，a2，a3，&hellip;，an，b1，b2，b3，&hellip;，bn是实数，则(a＋a＋&hellip;＋a)(b＋b＋&hellip;＋b)≥(a1b1＋a2b2＋&hellip;＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，&hellip;，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，&hellip;，n)时，等号成立．‎ <br />‎(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α&middot;β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ <br />‎4．证明不等式的方法 <br />‎(1)比较法 <br />‎①求差比较法 <br />知道a&gt;b⇔a－b&gt;0，a&lt;b⇔a－b&lt;0，因此要证明a&gt;b，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．‎ <br />‎②求商比较法 <br /> <br />由a&gt;b&gt;0⇔&gt;1且a&gt;0，b&gt;0，因此当a&gt;0，b&gt;0时要证明a&gt;b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．‎ <br />‎(2)分析法 <br />从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即&ldquo;执果索因&rdquo;的证明方法．‎ <br />‎(3)综合法 <br />从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即&ldquo;由因寻果&rdquo;的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．‎ <br />‎(4)反证法的证明步骤 <br />第一步：作出与所证不等式______的假设；‎ <br />第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．‎ <br />‎(5)放缩法 <br />所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．‎ <br />‎(6)数学归纳法 <br />设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．‎ <br /> <br />‎1．已知a&lt;0，b&lt;0，且&gt;，则a，b的大小关系为______．‎ <br />‎2．已知a、b、m均为正数，且a&lt;b，M＝，N＝，则M、N的大小关系是________．‎ <br />‎3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为__________．‎ <br />‎4．已知a&gt;0，b&gt;0，则P＝lg(1＋)，Q＝[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小关系为________．‎ <br />‎5．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________.‎ <br /> <br />‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ <br />题型一　柯西不等式的应用 <br /> <br />例1　已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.‎ <br /> <br />‎　‎ <br />思维升华　使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．‎ <br />‎　若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______．‎ <br />题型二　用综合法或分析法证明不等式 <br />例2　已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，‎ <br />求证：(1)(－1)&middot;(－1)&middot;(－1)≥8；‎ <br />‎(2)＋＋≤.‎ <br /> <br />‎　‎ <br />思维升华　用综合法证明不等式是&ldquo;由因导果&rdquo;，分析法证明不等式是&ldquo;执果索因&rdquo;，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思...