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初中数学 人教版(2012) 9上:24.1.4 圆周角 教案

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24.1.4 圆周角1.掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明.2.掌握圆内接多边形的有关概念及性质.3.在探索过程中,体会观察、猜想的思维方法,在定理的证明过程中,体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法.                   一、情境导入你喜欢看足球比赛吗?你踢过足球吗?第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行,共有来自世界各地的32支球队参加赛事,共进行64场比赛决定冠军队伍.比赛中如图所示,甲队员在圆心O处,乙队员在圆上C处,丙队员带球突破防守到圆上C处,依然把球传给了甲,你知道为什么吗?你能用数学知识解释一下吗?二、合作探究探究点一:圆周角定理如图,AB是⊙O的直径,C,D为圆上两点,∠AOC=130°,则∠D等于(  )A.25°,B.30°C.35°D.50°解析:本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系.∵∠AOC=130°,∠AOB=180°,∴∠BOC=50°,∴∠D=25°.故选A.探究点二:圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角如图,在⊙O中,=,∠A=30°,则∠B=(  )A.150°B.75°C.60°D.15°解析:因为=,根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B=∠C,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+2∠B=180°,又因为∠A=30°,所以30°+2∠B=180°,解得∠B=75°,故选B.方法总结:解题的关键是掌握在同圆或等圆中,相等的两条弧所对的圆周角也相等.注意方程思想的应用.如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为(  )A.30°B.45°C.60°D.75°解析:由BD是直径得∠BCD=90°.∵∠CBD=30°,∴∠BDC=60°.∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角,∴∠A=∠BDC=60°.故选C.,【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长如图所示,点C在以AB为直径的⊙O上,AB=10cm,∠A=30°,则BC的长为________.解析:由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°.在Rt△ABC中,因为∠A=30°,所以BC=AB=×10=5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明如图所示,已知△ABC的顶点在⊙O上,AD是△ABC的高,AE是⊙O的直径,求证:∠BAE=∠CAD.解析:连接BE构造Rt△ABE,由AD是△ABC的高得Rt△ACD,要证∠BAE=∠CAD,只要证出它们的余角∠E与∠C相等,而∠E与∠C是同弧AB所对的圆周角.证明:连接BE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°.∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠CAD+∠C=90°.∵=,∴∠E=∠C,∵∠BAE+∠E=90°,∠CAD+∠C=90°,∴∠BAE=∠CAD.方法总结:涉及直径时,通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形,并借助直角三角形的性质来解决问题.探究点三:圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算,如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=________度.解析:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠B+∠ADC=180°.∵四边形OABC为平行四边形,∴∠AOC=∠B.又由题意可知∠AOC=2∠ADC.∴∠ADC=180°÷3=60°.连接OD,可得AO=OD,CO=OD.∴∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC.∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.解析:由已知易得∠E=∠BCE,由同角的补角相等,得∠A=∠BCE,则∠E=∠A.证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠DCB=180°.∵∠BCE+∠DCB=180°,∴∠A=∠BCE.∴∠A=∠E.∴AD=DE.∴△ADE是等腰三角形.三、板书设计教学过程中,强调圆周角定理得出的理论依据,使学生熟练掌握并会学以致用.在圆中,,利用圆周定理及其推论求相关的角度时,注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.

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所属: 初中 | 数学
发布时间:2022-12-19 17:02:04 页数:5
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