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初中数学 人教版(2012) 9上:21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程 教案

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第3课时 几何图形与一元二次方程1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.2.继续探究实际问题中的数量关系,列出一元二次方程解应用题.3.通过探究体会列方程的实质,提高灵活处理问题的能力.                   一、情境导入如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,你能求出所截去小正方形的边长吗?二、合作探究探究点:用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米,则根据题意可列出关于x的方程为(  )A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=6解析:设一边长为x米,则另外一边长为(5-x)米,根据它的面积为6平方米,即可列出方程得:x(5-x)=6,故选择B.方法总结:理解题意,恰当的设未知数,把题中相关的量用未知数表示出来,用相等关系列出方程.,现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形,做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,求小正方形的边长.解析:设小正方形的边长为xcm,则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示,再根据面积,即可建立等量关系,列出方程.解:设小正方形的边长为xcm,则可得这个长方体盒子的底面的长是(80-2x)cm,宽是(60-2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积,方程可列为(80-2x)(60-2x)=1500,整理得x2-70x+825=0,解得x1=55,x2=15.又60-2x>0,∴x=55(舍).∴小正方形的边长为15cm.方法总结:要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息,通过图形求出面积,解题的关键是熟记各种图形的面积公式,列出符合题意的方程,整理即可.【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米,根据题意可列出的方程为______________.解析:解法一:把两条道路平移到靠近矩形的一边上,用含x的代数式表示草坪的长为(22-x)米,宽为(17-x)米,根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22-x)(17-x)=300.解法二:根据面积的和差可列方程:22×17-22x-17x+x2=300.方法总结:解答与道路有关的面积问题,可以根据图形面积的和差关系,寻找相等关系建立方程求解;也可以用平移的方法,把道路平移构建特殊的图形,并利用面积建立方程求解.【类型三】利用一元二次方程解决动点问题,如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.解析:这是一道动态问题,可设出未知数,表示出PC与CQ的长,根据面积公式建立方程求解.解:(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.则根据题意,得·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4.所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意,得(6-x)·2x=××6×8.整理,得x2-6x+12=0.由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型,解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形,找出各部分面积之间的关系,运用面积等计算公式列出方程;对图形进行分割或补全的原则:转化成为规则图形时越简单越直观越好.

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所属: 初中 | 数学
发布时间:2022-12-19 16:44:55 页数:3
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