第四章指数函数对数函数与幂函数达标检测试卷（附解析新人教B版必修第二册）

本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|(x+3)(x-2)≥0},B={x|y=　log2x},则A∩B=(　　)A.[1,4]B.[1,2]C.[2,+∞)D.[1,+∞)2.已知幂函数y=f(x)的图像经过点(3,33),则log13f(3)的值是(　　)A.-13B.-1C.13D.33.已知f(x)=x-1,x≤1,lnx,x>1,则不等式f(x)>1的解集是(　　)A.(e,+∞)B.(2,+∞)C.(1,e)D.(2,e)4.设函数f(x)=log2x,若f(a+1)<2,则实数a的取值范围为(　　)A.(-1,3)B.(-∞,3)C.(-∞,1)D.(-1,1)5.已知函数f(x)=x2+e|x|,若a=f(20),b=flog1214,c=flog222,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b6.函数f(x)=x3+log2(x-1)-10的零点所在的区间为(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.已知m,n∈(1,+∞),且m>n,若logmn2+lognm6=13,则函数f(x)=xmn2的图像为(　　)11 8.已知函数f(x)=|log2x|,0<x≤2,-x2+4x-3,x>2,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(　　)A.[2,3]B.(2,3)C.[2,3)D.(2,3]二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知a>0,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则下列不等式可能正确的是(　　)A.(b-1)(b-a)>0B.(a-1)(a-b)>0C.(a-1)(b-1)<0D.(a-1)(b-a)>010.已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列结论,其中正确的是(　　)A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B.f(x)一定有最小值C.当a=0时,f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}11.下列结论正确的是(　　)A.函数y=12-x2+1的最大值为12B.已知函数y=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是(1,2)C.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称D.已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)内有1010个零点,则函数f(x)的零点个数为211 02112.定义“正对数”:ln+x=0,0<x<1,lnx,x≥1.若a>0,b>0,则下列结论中正确的是(　　)A.ln+(ab)=bln+aB.ln+(ab)=ln+a+ln+bC.ln+(a+b)≥ln+a+ln+bD.ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3.若f(x)=2x,g(x)=f(x-[x]),则g32=　　　　,函数g(x)的值域为　　　　. 14.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.若两颗星的星等与亮度满足m2-m1=32lgE1E2.其中星等为mk,亮度为Ek(k=1,2).(1)若E1=10000E2,则m2-m1=　　　　; (2)若太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.5,则太阳与天狼星的亮度的比值为　　　　. 15.已知函数f(x)=loga(-x+1)(a>0且a≠1)在[-2,0]上的值域是[-1,0].若函数g(x)=ax+m-3的图像不经过第一象限,则m的取值范围为　　　　. 16.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　　. 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)(-2)2+-12723-log 280+(log252)-1;(2)12lg25+lg2+13log32-log29×log32.11 18.(12分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-2m-1在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x+m2x.(1)求实数m的值,并简要说明函数g(x)的单调性;(2)若不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0恒成立,求实数t的取值范围.19.(12分)目前,我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.某企业从2019年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1).(1)设n(n∈N*)年后(2019年记为第1年)年产能为2018年的a倍,请用a,n表示x;(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2018年的25%?(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)11 20.(12分)已知函数f(x)=(lgx)2-2alg(10x)+3,x∈1100,10.(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的最小值记为m(a),求m(a)的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=logax+b(其中a,b均为常数,a>0且a≠1)的图像经过点(2,5)与点(8,7).(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=bx-ax+2,若对任意的x1∈[1,4],存在x2∈[0,log25],使得f(x1)=g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=log134-axx-4为奇函数,其中a为常数.(1)求a的值;(2)判断函数f(x)在x∈(-∞,-4)上的单调性,并证明;(3)若对任意x∈(-∞,-5),都有f(x)≤12x+m恒成立,求实数m的取值范围.11 答案全解全析一、单项选择题1.C　∵集合A={x|(x+3)(x-2)≥0}={x|x≤-3或x≥2},B={x|y=log2x}={x|x≥1},∴A∩B={x|x≥2}.故选C.2.A　因为幂函数y=f(x)的图像经过点(3,33),所以f(3)=33=313,所以log13f(3)=log13313=13log133=-13.故选A.3.A　由题意得x≤1,x-1>1或x>1,lnx>1,解得x∈⌀或x>e.综上,x>e.4.A　∵函数f(x)=log2x在定义域内单调递增,f(4)=log24=2,∴不等式f(a+1)<2等价于0<a+1<4,解得-1<a<3,故选A.5.C　由f(-x)=(-x)2+e|-x|=x2+e|x|=f(x)知函数f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,a=f(20)=f(1),b=flog1214=f(2),c=flog222=f-12=f12,所以f(2)>f(1)>f12,即b>a>c.6.C　∵函数f(x)=x3+log2(x-1)-10在(1,+∞)上单调递增,f(2)=-2<0,f(3)=18>0,∴f(x)的零点所在的区间为(2,3).故选C.7.A　由题意,得logmn2+lognm6=2logmn+6lognm=13,令t=logmn(0<t<1),则2t+6t=13,解得t=12或t=6(舍去),所以n=m,即mn2=1,所以f(x)=xmn2的图像即为f(x)=x的图像.故选A.8.B　根据已知画出函数f(x)的草图如下.不妨设a<b<c,∵f(a)=f(b)=f(c),∴-log2a=log2b=-c2+4c-3,∴log2(ab)=0,解得ab=1,由图可知2<c<3,∴2<abc<3.11 二、多项选择题9.AD　∵logab>1=logaa,∴若a>1,则b>a,即b>a>1,∴(b-1)(b-a)>0,(a-1)(b-a)>0,故A、D正确;若0<a<1,则0<b<a<1,∴(a-1)(a-b)<0,(a-1)(b-1)>0,故B、C错误.10.AC　当a=0时,f(x)=lg(x2-1),由x2-1>0得x>1或x<-1,则x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;当a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;函数y=x2+ax-a-1图像的对称轴为直线x=-a2,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则-a2≤2,∴a≥-4,但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.故选AC.11.CD　A错,令t=-x2+1,则t的最大值为1,∴y=12-x2+1的最小值为12;B错,∵函数y=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数,∴a>1,2-a≥0,解得1<a≤2;C正确,在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称;D正确,∵定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)内有1010个零点,∴f(x)在(0,+∞)内有1010个零点,且f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数为2×1010+1=2021.故选CD.12.AD　对于A,当0<a<1,b>0时,有0<ab<1,从而ln+(ab)=0,bln+a=b×0=0,所以ln+(ab)=bln+a;当a≥1,b>0时,有ab≥1,从而ln+(ab)=lnab=blna,bln+a=blna,所以ln+(ab)=bln+a.所以当a>0,b>0时,ln+(ab)=bln+a,所以A正确.对于B,当a=14,b=2时满足a>0,b>0,而ln+(ab)=ln+12=0,ln+a+ln+b=ln+14+ln+2=ln2,所以ln+(ab)≠ln+a+ln+b,所以B错误.对于C,令a=2,b=4,则ln+(2+4)=ln6,ln+2+ln+4=ln2+ln4=ln8,所以ln6<ln8,所以C错误.对于D,由“正对数”的定义知,当x1≤x2时,有ln+x1≤ln+x2,当0<a<1,0<b<1时,有0<a+b<2,11 从而ln+(a+b)<ln+2=ln2,ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2,所以ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2;当a≥1,0<b<1时,有a+b>1,从而ln+(a+b)=ln(a+b)<ln(a+a)=ln(2a),ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln(2a),所以ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2;当0<a<1,b≥1时,有a+b>1,从而ln+(a+b)=ln(a+b)<ln(b+b)=ln(2b),ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln(2b),所以ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2;当a≥1,b≥1时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab),因为2ab-(a+b)=ab-a+ab-b=a(b-1)+b(a-1)≥0,所以2ab≥a+b,所以ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.综上所述,当a>0,b>0时,ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2,所以D正确.故选AD.三、填空题13.答案　2;[1,2)解析　g32=f32-1=f12=2,令t=x-[x]∈[0,1),g(x)=f(x-[x])=f(t)=2t,∵t∈[0,1),∴g(x)的值域为[1,2).14.答案　(1)6　(2)1016.8解析　(1)把E1=10000E2代入m2-m1=32lgE1E2中,可得m2-m1=6.(2)设太阳的星等是m1=-26.7,天狼星的星等是m2=-1.5,太阳的亮度为E1,天狼星的亮度为E2.由题意可得,-1.5-(-26.7)=32lgE1E2,所以lgE1E2=16.8,则E1E2=1016.8.15.答案　[-1,+∞)解析　由题意得,当a>1时,f(x)=loga(-x+1)在[-2,0]上单调递减,∴f(-2)=loga3=0,f(0)=loga1=-1,无解;当0<a<1时,f(x)=loga(-x+1)在[-2,0]上单调递增,∴f(-2)=loga3=-1,f(0)=loga1=0,解得a=13.∴g(x)=13x+m-3,11 又∵g(x)的图像不经过第一象限,∴g(0)=13m-3≤0,解得m≥-1,即m的取值范围是[-1,+∞).16.答案　6解析　由题意可作出函数f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图像,如图中实线所示.由图像易得,当x=4时,f(x)取最大值,为6.四、解答题17.解析　(1)原式=2+19-2(log216+log25)+1log252=2+19-2(4+log25)+2log253分=-539.5分(2)12lg25+lg2+13log32-log29×log32=lg5+lg2+3-log32-2log23×log328分=1+12-2=-12.10分18.解析　(1)因为f(x)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.2分又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以-2m-1>0,即m<-12,所以m=-1,则g(x)=2x-12x.4分因为y=2x与y=-12x均在R上单调递增,所以函数g(x)在R上单调递增.5分(2)易知g(x)的定义域为R.因为g(-x)=2-x-12-x=-2x-12x=-g(x),所以g(x)是奇函数,7分所以不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0可变为g(1-3t)≥-g(1+t)=g(-1-t).10分由(1)知g(x)在R上单调递增,11 所以1-3t≥-1-t,解得t≤1.12分19.解析　(1)设2018年的产能为1.依题意得(1-x)n=a,2分∴1-x=na,x=1-na(n∈N*).5分(2)设m年后年产能不超过2018年的25%,则(1-10%)m≤25%,6分即910m≤14,解得m≥2lg21-2lg3,即m≥30123,8分∵13<30123<14,且m∈N*,∴m的最小值为14,11分∴2018+14=2032.∴至少要到2032年才能使年产能不超过2018年的25%.12分20.解析　(1)当a=1时,f(x)=(lgx)2-2lg(10x)+3=(lgx)2-2(lg10+lgx)+3=(lgx)2-2lgx+1=(lgx-1)2,2分由x∈1100,10得-2≤lgx≤1.3分因此,当lgx=1时,f(x)min=0;当lgx=-2时,f(x)max=9.4分故f(x)的值域为[0,9].5分(2)f(x)=(lgx)2-2algx-2a+3,x∈1100,10.令t=lgx,t∈[-2,1],则g(t)=t2-2at-2a+3,易知g(t)为二次函数,其图像的对称轴为直线t=a.7分①当a<-2时,g(t)min=g(-2)=2a+7;8分②当-2≤a≤1时,g(t)min=g(a)=-a2-2a+3;③当a>1时,g(t)min=g(1)=4-4a.10分所以m(a)=2a+7,a<-2,-a2-2a+3,-2≤a≤1,4-4a,a>1,所以m(a)max=4.12分21.解析　(1)由已知得loga2+b=5,loga8+b=7,2分消去b得loga8-loga2=loga4=2,即a2=4,又a>0且a≠1,所以a=2,b=4.4分11 (2)由(1)知f(x)=log2x+4,g(x)=4x-2x+2.函数f(x)=log2x+4单调递增,当x∈[1,4]时,其值域为A=[4,6].6分令2x=t,当x∈[0,log25]时,t∈[1,5],于是y=t2-4t=(t-2)2-4,易得y∈[-4,5].8分设函数h(x)=g(x)+m,则函数h(x)的值域为B=[-4+m,5+m],10分根据条件知A⊆B,于是5+m≥6,-4+m≤4,解得1≤m≤8.所以实数m的取值范围为[1,8].12分22.解析　(1)∵函数f(x)=log134-axx-4为奇函数,∴f(x)+f(-x)=log134-axx-4+log134+ax-x-4=log1316-a2x216-x2=0恒成立,2分∴16-a2x216-x2=1,即a2=1,解得a=1或a=-1.当a=1时,4-xx-4=-1<0,故舍去,所以a=-1.4分(2)函数f(x)在x∈(-∞,-4)上为增函数,证明如下:由(1)得,f(x)=log134+xx-4=log131+8x-4,令t=g(x)=1+8x-4,任取x1,x2∈(-∞,-4),且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=1+8x1-4-1+8x2-4=8x1-4-8x2-4=8(x2-x1)(x1-4)(x2-4),6分∵x1,x2∈(-∞,-4),x1<x2,∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2).∴函数g(x)在x∈(-∞,-4)上单调递减.又∵y=log13t是减函数,∴函数f(x)在x∈(-∞,-4)上为增函数.7分(3)由题意,对任意x∈(-∞,-5),都有f(x)≤12x+m恒成立,即对任意x∈(-∞,-5),都有m≥f(x)-12x恒成立.9分设h(x)=f(x)-12x.由(2)知,h(x)在x∈(-∞,-5)上为增函数,故h(x)<h(-5)=-30,故m≥-30,∴实数m的取值范围是[-30,+∞).12分11