第四章指数函数对数函数与幂函数习题课对数函数图像与性质的应用练习（附解析新人教B版必修第二册）

习题课　对数函数图像与性质的应用必备知识基础练1.已知函数f(x)=ln(1-x)的定义域为A,函数g(x)=x2-2x-3的值域为B,则下列关系正确的是(　　)A.A⊆BB.A∩B={x|-4<x<1}C.A∪B=RD.B⊆A答案C解析∵A={x|x<1},B={y|y≥-4},∴A∩B={x|-4≤x<1},A∪B=R.2.若函数f(x)=ax-k-1(a>0且a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图像是(　　)答案A解析由题意可知f(2)=0,解得k=2,所以f(x)=ax-2-1,又f(x)在定义域R上是减函数,所以0<a<1.此时g(x)=loga(x+2),定义域为(-2,+∞),单调递减,且过点(-1,0),故选A.3.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-∞,7]B.(2,7]C.[7,+∞)D.(2,+∞)答案B解析∵lg(2x-4)≤1,∴0<2x-4≤10,解得2<x≤7,∴x的取值范围是(2,7],故选B.4.(多选题)已知0<a<b<1,则下列不等式恒成立的是(　　)6 A.a>bB.lna>lnbC.D.答案ACD解析因为0<a<b<1,y=x为减函数,所以a>b,因为0<a<b<1,y=lnx为增函数,所以lna<lnb<0.又因为y=在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上也为减函数,所以,同理可得,.5.不等式lo(5+x)<lo(1-x)的解集为　　　　. 答案{x|-2<x<1}解析不等式满足解得-2<x<1.6.(2020甘肃天水高二期末)函数f(x)=lo(-x2+5x+6)的单调递减区间是　　　　,最小值为　　　　. 答案-1,　2-2log27解析由-x2+5x+6>0得-1<x<6,所以f(x)的定义域为(-1,6),由于y=-x2+5x+6的开口向下,对称轴为x=,y=lox在(0,+∞)上单调递减.根据复合函数单调性同增异减可知,f(x)的单调递减区间为-1,.函数y=-x2+5x+6,当x=时,y取得最大值,所以函数f(x)=lo(-x2+5x+6)的最小值为f(x)=lo=2-2log27.7.(2020山西大同高二月考)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0且a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间上的最大值.解(1)f(1)=loga2+loga2=loga4=2,解得a=2.6 故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),则解得-1<x<3,故f(x)的定义域为(-1,3).(2)函数f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(3-x)(1+x),定义域为(-1,3),⊆(-1,3),由函数y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,函数y=(3-x)(1+x)在区间[0,1)上单调递增,在区间上单调递减,可得函数f(x)在区间[0,1)上单调递增,在区间上单调递减.故f(x)在区间上的最大值为f(1)=log24=2.关键能力提升练8.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0且a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是(　　)A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D解析由图像可知y=loga(x+c)的图像是由y=logax的图像向左平移|c|个单位长度得到的,其中0<c<1.再根据单调性易知0<a<1.9.已知函数f(x)=loga(2x-a)(a>0且a≠1)在区间上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(　　)A.,1B.,1C.,1D.,1答案A解析当0<a<1时,函数f(x)在区间上是减函数,所以loga-a>0,即0<-a<1,解得<a<,故<a<1;当a>1时,函数f(x)在区间上是增函数,所以loga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时无解.综上所述,实数a的取值范围是,1.10.若f(x)=lgx,g(x)=f(|x|),则g(lgx)>g(1)时,x的取值范围是　　　　. 6 答案0,∪(10,+∞)解析因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)>f(1),由f(x)为增函数得|lgx|>1,从而lgx>1或lgx<-1,解得x>10或0<x<.11.已知函数f(x)=loga(x+3)在区间[-2,-1]上总有|f(x)|<2,则实数a的取值范围为　　　　. 答案0,∪(,+∞)解析∵x∈[-2,-1],∴1≤x+3≤2.当a>1时,loga1≤loga(x+3)≤loga2,即0≤f(x)≤loga2.∵|f(x)|<2,∴解得a>.当0<a<1时,loga2≤loga(x+3)≤loga1,即loga2≤f(x)≤0.∵|f(x)|<2,∴解得0<a<.12.已知关于x的不等式(log3x)2-2log3x-3≤0的解集为M.(1)求集合M;(2)若x∈M,求函数f(x)=[log3(3x)]·log3的最值.解(1)由(log3x)2-2log3x-3≤0,得-1≤log3x≤3,解得≤x≤27,因此,M=.(2)令t=log3x,∵x∈,27,∴t∈[-1,3].∴f(x)=(log3x+log33)(log3x-log381)=(t+1)(t-4),令y=(t+1)(t-4)=t-2-,当t=时,f(x)min=ymin=-,又当t=-1时,y=0,当t=3时,y=-4,∴f(x)max=0.因此,函数y=f(x)在区间M上的最大值为0,最小值为-.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.6 解(1)当x<0时,-x>0,由题意知f(-x)=loga(-x+1),又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-x)=f(x).∴当x<0时,f(x)=loga(-x+1),∴函数f(x)的解析式为f(x)=(2)∵-1<f(1)<1,∴-1<loga2<1,∴loga<loga2<logaa.①当a>1时,原不等式等价于解得a>2;②当0<a<1时,原不等式等价于解得0<a<.综上,实数a的取值范围为0,∪(2,+∞).学科素养创新练14.(2020重庆高一期末)设函数f(x)=log3(9x-k·3x-3),其中k为常数.(1)当k=2时,求f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[1,+∞),关于x的不等式f(x)≥x恒成立,求实数k的取值范围.解(1)当k=2时,函数f(x)=log3(9x-2·3x-3),要使函数有意义,只需要9x-2·3x-3>0,即(3x+1)·(3x-3)>0,解得3x<-1或3x>3.∵3x>0,∴3x>3,解得x>1,即函数的定义域为(1,+∞).(2)∵f(x)=log3(9x-k·3x-3),∴9x-k·3x-3>0,即k<=3x-.∵x∈[1,+∞),∴3x∈[3,+∞),∴3x-∈[2,+∞),∴k的取值范围是(-∞,2).又log3(9x-k·3x-3)≥x恒成立,可得9x-k·3x-3≥3x恒成立,∴k+1≤=3x-,∴k+1≤3x-min=2,即k≤1.6 故实数k的取值范围是(-∞,1].6