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2021中考数学压轴题专题训练14相似三角形(附解析)

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相似三角形1.已知,如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1,AD+AC=8.(1)找出图中的一对相似三角形并证明;(2)求AC长.【解析】解:(1)△BAD∽△BCA,理由如下:AB=2,BC=4,BD=1,,,又∠B=∠B,△BAD∽△BCA;(2)由(1)得:,即,AD+AC=8,,解得:,.2.如图,在中,,,是上一点,,是上一动点,连接,作,射线交线段于. (1)求证:;(2)当是线段中点时,求线段的长;【解析】(1)证明:∵,∴;∵,,∴.∴.(2)∵(已证).∴;∵为的中点,,∴.设,则;又,∴,解得或3.故长为2或3.3.如图,是一个照相机成像的示意图. (1)如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远?(2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物,拍摄点离景物有4m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少?【解析】解:根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA,∴.(1)∵像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,∴,解得:LD=7.∴拍摄点距离景物7m.(2)拍摄高度AB是2m的景物,拍摄点离景物LC=4m,像高MN不变,是35mm,∴,解得:LC=70.∴相机的焦距应调整为70mm.4.如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,C,F,G三点在一直线上,连接AF并延长交边CD于点M,若∠AFG=∠ACD. (1)求证:①△MFC∽△MCA;②若AB=5,AC=8,求的值.(2)若DM=CM=2,AD=3,请直接写出EF长.【解析】(1)①证明:∵∠AFG=∠ACD,∴∠FCA+∠FAC=∠FCA+∠MCF,∴∠FAC=∠MCF,∵∠FMC=∠CMA,∴△MFC∽△MCA.②解:∵四边形AEFG,四边形ABCD都是矩形,∴FG∥AE,CD∥AB,∴∠AFG=∠FAE,∠ACD=∠CAB,∵∠AFG=∠ACD,∴∠FAE=∠CAB,∵∠AEF=∠ABC=90°,∴△AEF∽△ABC,∴=, ∴=,∵∠FAE=∠CAB,∴∠FAC=∠EAB,∴△FAC∽△EAB,∴==.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,AD=BC=3,∵DM=MC=2,AD=3,∴CD=4,AM===,AC===5,∵△MFC∽△MCA,∴=,∴FM==,∴AF=AM﹣FM=,∵△AEF∽△ABC,∴=,∴=, ∴EF=.5.已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.(1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,求证:ED⋅EA=EC⋅EB;(2)如图2,若∠ABC=120°,cos∠ADC=35,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积.【解析】解:(1)证明:∵∠ADC=90°,∴∠EDC=90°,∴∠ABE=∠CDE.又∵∠AEB=∠CED,∴△EAB∽△ECD,∴,∴.(2)过点C作CG⊥AD于点D,过点A作AH⊥BC于点H, ∵CD=5,cos∠ADC=,∴DG=3,CG=4.∵S△CED=6,∴ED=3,∴EG=6.∵AB=12,∠ABC=120°,则∠BAH=30°,∴BH=6,AH=,由(1)得△ECG∽△EAH,∴,∴EH=,∴S四边形ABCD=S△AEH-S△ECD-S△ABH==.6.如图,在中,,是高,平分,分别与,相交于点,.(1)求证:.(2)求证:.(3)若,,,求的长. 【解析】证明:(1)为边上的高,,是的平分线,;(2),,,; (3)如图,作于,,由,,,,由.7.如图,在平面直角坐标系x0y中,直线BC和直线OB交于点B,直线AC与直线BC交x轴于点C,OA=4,轴,垂足为点A,AC与OB交于点M.(1)求直线BC的解析式;(2)求阴影部分的面积. 【解析】解:(1),所以点A坐标为(0,4),点C坐标为(1,0),又轴,点B坐标为(2,4),设直线BC的表达式为y=kx+b,将点B,C坐标代入表达式,得,解得:k=4,b=﹣4,所以直线的表达式为.(2)轴,∴AB∥x轴,,∴,∵,∴,∴S阴影.8.在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处. (1)如图1,若BC=2BA,求∠CBE的度数;(2)如图2,当AB=5,且AFFD=10时,求BC的长;(3)如图3,延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AD时,求的值.【解析】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,∵将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处,∴BC=BF,∠FBE=∠EBC,∠C=∠BFE=90°,∵BC=2AB,∴BF=2AB,∴∠AFB=30°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD//BC,∴∠AFB=∠CBF=30°,∴∠CBE=∠FBC=15°;(2)∵将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处, ∴∠BFE=∠C=90°,CE=EF,又∵矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠AFB+∠DFE=90°,∠DEF+∠DFE=90°,∴∠AFB=∠DEF,∴△FAB∽△EDF,∴,∴AF•DF=AB•DE,∵AF•DF=10,AB=5,∴DE=2,∴CE=DC-DE=5-2=3,∴EF=3,∴DF=,∴AF=,∴BC=AD=AF+DF=.(3)过点N作NG⊥BF于点G, ∵NF=AD∴NF=BF,∵∠NFG=∠AFB,∠NGF=∠BAF=90°,∴△NFG∽△BFA,∴,设AN=x,∵BN平分∠ABF,AN⊥AB,NG⊥BF,∴AN=NG=x,AB=BG=2x,设FG=y,则AF=2y,∵AB2+AF2=BF2,∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2,解得y=x,∴BF=BG+GF=.∴.9.如图,抛物线y=﹣(x+1)(x﹣n)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为5.动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动,过P作PN⊥x轴交BC于M,交抛物线于N.(1)求抛物线的解析式;(2)当MN最大时,求运动的时间; (3)经过多长时间,点N到点B、点C的距离相等?【解析】(1)∵抛物线y=与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C∴A(﹣1,0),B(n,0),C(0,),n>0∴AB=n+1,OC=n由S△ABC=×AB×OC=5∴∴∴取正根n=4∴y==x2+x+2;(2)由(1),B(4,0),C(0,2)∴直线BC为设M(m,m+2),N(m,m2+m+2)∴MN===∴当m=2时,MN最大 ∴OP=2∴AP=3,即经过3s,MN最大;(3)如下图所示,作BC的中垂线,与BC交于点D,与y轴交于点E,与抛物线交于点N,∴△CDE~△COB∴由(2),得BC=2,D(2,1)∴DE=2CD=2∴CE=5∴OE=3∴E(0,-3)∴直线DE为y=2x-3由x2+x+2=2x-3移项整理得:x2+x-5=0∴x2+x-10=0取正根x= ∴OP=∴AP=即经过秒,点N到点B、点C的距离相等.10.如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在一直线上,连接AF并延长交边CD于点M.(1)求证:△MFC∽△MCA;(2)求证△ACF∽△ABE;(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】解:(1)四边形是正方形,四边形是正方形,,,,,; (2)四边形是正方形,,,,同理可得,,,,;(3),,,,,,即,,,,即正方形的边长为. 11.如图,函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n)两点,m,n分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,且m<n.(Ⅰ)求m,n的值以及函数的解析式;(Ⅱ)设抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,连接AB,BC,BD,CD.求证:△BCD∽△OBA;(Ⅲ)对于(Ⅰ)中所求的函数y=﹣x2+bx+c,(1)当0≤x≤3时,求函数y的最大值和最小值;(2)设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p,最小值为q,若p﹣q=3,求t的值.【解析】(I)∵m,n分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,且m<n,用因式分解法解方程:(x+1)(x﹣3)=0,∴x1=﹣1,x2=3,∴m=﹣1,n=3,∴A(﹣1,0),B(0,3),把(﹣1,0),(0,3)代入得,, 解得,∴函数解析式为y=﹣x2+2x+3.(II)证明:令y=﹣x2+2x+3=0,即x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A(﹣1,0),C(3,0),∴OA=1,OC=3,∴对称轴为,顶点D(1,﹣1+2+3),即D(1,4),∴,,,∵CD2=DB2+CB2,∴△BCD是直角三角形,且∠DBC=90°,∴∠AOB=∠DBC,在Rt△AOB和Rt△DBC中,,,∴,∴△BCD∽△OBA;(III)抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1,顶点为D(1,4),(1)在0≤x≤3范围内,当x=1时,y最大值=4;当x=3时,y最小值=0;(2)①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧,当x=t时取得最小值q=﹣t2+2t+3,最大值p=﹣(t+1)2+2(t+1)+3, 令p﹣q=﹣(t+1)2+2(t+1)+3﹣(﹣t2+2t+3)=3,即﹣2t+1=3,解得t=﹣1.②当t+1=1时,此时p=4,q=3,不合题意,舍去;③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧,此时p=4,令p﹣q=4﹣(﹣t2+2t+3)=3,即t2﹣2t﹣2=0解得:t1=1+(舍),t2=1﹣(舍);或者p﹣q=4﹣[﹣(t+1)2+2(t+1)+3]=3,即(不合题意,舍去);④当t=1时,此时p=4,q=3,不合题意,舍去;⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧,当x=t时取得最大值p=﹣t2+2t+3,最小值q=﹣(t+1)2+2(t+1)+3,令p﹣q=﹣t2+2t+3﹣[﹣(t+1)2+2(t+1)+3]=3,解得t=2.综上,t=﹣1或t=2.12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,以C为顶点作等腰直角三角形CMN.使∠CMN=90°,连接BN,射线NM交BC于点D.(1)如图1,若点A,M,N在一条直线上,①求证:BN+CM=AM;②若AM=4,BN=,求BD的长;(2)如图2,若AB=4,CN=2,将△CMN绕点C顺时针旋转一周,在旋转过程中射线NM交AB于点H,当三角形DBH是直角三角形时,请你直接写出CD的长.【解析】证明:(1)①如图,过点C作CF⊥CN,交AN于点F, ∵△CMN是等腰直角三角形,∴∠CNM=45°,CM=MN,∵CF⊥CN,∠ACB=90°,∴∠FCN=∠ACB,∠CFN=∠CNF=45°,∴∠ACF=∠BCN,CF=CN,且AC=BC,∴△ACF≌△BCN(SAS),∴AF=BN,∵CF=CN,CM⊥MN,∴MF=MN=CM,∴AM=AF+FM=BN+CM②∵AM=4,BN=,BN+CM=AM,∴CM=MN=,∵△ACF≌△BCN,∴∠CAF=∠CBN,∵∠CAF+∠ACF=∠CFN=45°,∠BCN+∠MCD=∠MCN=45°∴∠CAF=∠MCD,且∠CAF=∠CBN,∴∠MCD=∠CBN ∴CM∥BN∴△MCD∽△NBD,∠CMD=∠BND=90°∴=∴MD=ND∵MD+ND=MN=∴ND=在Rt△DNB中,BD==(2)若∠BDH=90°,如图,此时点M与点D重合,∵△CMN是等腰直角三角形,CN=2∴CM=MN=∴CD=,若∠BHD=90°,如图, ∵∠BHD=90°,∠B=45°,∴∠BDH=45°∴∠CDN=45°=∠N∴CD=CN=2.

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发布时间:2021-09-14 20:00:04 页数:23
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