高中数学必修2人教B版全国通用版：综合试卷(一)

模块综合试卷(一)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是(　　)A．1B．1或2C．3D．1或3答案　D解析　三条直线不过同一点时，只能确定1个平面；过同一点时，能确定1个或3个平面．2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)A．相离B．相切C．相交D．不确定答案　C解析　直线ax－y＋2a＝0可化为a(x＋2)－y＝0，直线恒过定点(－2,0)，由点(－2,0)在圆x2＋y2＝9内可知，直线与圆相交．3．经过圆x2＋y2－2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0平行的直线方程是(　　)A．x＋y－1＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x－y＋1＝0答案　A解析　圆x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)．设与直线x＋y＝0平行的直线方程为x＋y＋C＝0，将(1,0)代入，得C＝－1，∴直线方程为x＋y－1＝0.4．已知空间两点P1(－1,3,5)，P2(2,4，－3)，则|P1P2|等于(　　)A.B．3C.D.答案　A5.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，等于(　　),A.B.C.D.答案　A解析　＝＝，故＝.6．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是(　　)A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m答案　A解析　对于A，若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质知，l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A.7．已知圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(　　)A．2B．－5C．2或－5D．不确定答案　C解析　圆C1的圆心(m，－2)，圆C2的圆心(－1，m)，则|C1C2|＝＝3＋2，得m＝2或－5.8．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为(　　)A．3πB.C.πD.答案　B解析　设圆锥底面半径为r，则母线为2r，∴×2r×r＝，得r＝1.h＝＝r＝，,∴V＝π×12×＝π.9．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面MNP的图形为(　　)A．①②B．②③C．①④D．②④答案　A解析　由面面平行的判定定理可得．10．已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)A．2B．6C．4D．2答案　B解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，其圆心C的坐标为(2,1)，在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，a＝－1.又AB是一条切线且切点为B，则△ABC为直角三角形，角B为直角，∴|AB|＝，∵|AC|＝＝，∴|AB|＝＝6.11．设A，B，C，D是球面上的四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝5，AC＝4，AD＝，则球的表面积为(　　)A．36πB．64πC．100πD．144π答案　B解析　三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，所以d＝＝8，它的外接球半径是4，,则外接球的表面积为4πR2＝64π.12．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)A．3B.C．2D．2答案　D解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径r＝1.由圆的性质知，S四边形PACB＝2S△PBC.∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1＝rd(d是切线长)，∴d最小值＝2，|PC|最小值＝＝.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，∴|PC|最小值＝＝.∵k＞0，∴k＝2，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知两条直线l1：ax＋8y＋b＝0和l2：2x＋ay－1＝0(b＜0)，若l1⊥l2且直线l1的纵截距为1，则a＝________，b＝________.答案　0　－8解析　∵l1⊥l2，∴2a＋8a＝0，得a＝0.l1：8y＋b＝0，即y＝－.令－＝1，得b＝－8.14．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．答案　4π解析　圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心(0，a)到直线y＝x＋2a的距离d＝＝|a|.由R2＝d2＋2，即a2＋2＝2＋()2，解得a＝±.∴圆的半径为＝2，,则圆C的面积为4π.15．已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积的比值为________．答案　24解析　∵圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，∴πRl＝，解得l＝R，∴圆锥乙的高h＝＝，∴圆柱甲和圆锥乙的体积的比值为＝＝24.16．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点，已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．其中正确结论的序号为______．答案　②③解析　①当点E与D1重合、点F与A重合时，A1C⊥平面AB1D1(即平面B1EF)，而EF为其他位置时不垂直，故不正确；,②如图所示，EF在侧面BCC1B1上的正投影为BE1，则△BB1E1的面积＝为定值，故正确；③如图所示，在边B1B上取B1M＝D1E，连接EM，在平面ABB1A1内作MN∥AB交B1F于点N，连接EN，则EN∥平面A1B1C1D1.综上可知，只有②③正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解　(1)交线围成的正方形EHGF如图．(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.则MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为＝.18．(12分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.(1)解　显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．,∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴解得故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)证明　过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，∴|PQ|<4，故所证成立．19.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥E—A1CD的体积．(1)证明　连接AC1交A1C于点O，连接OD，可得OD∥BC1.又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解　在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥CD.又AB⊥CD，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面A1DE，所以三棱锥E—A1CD可以把平面A1DE作为底面，CD＝作为高，底面A1DE的面积为4－－－＝，所以三棱锥E—A1CD的体积为××＝1.20．(12分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，在y轴上截得的线段长为4，且半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，直线l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O,，求直线l的方程．解　(1)直线PQ的方程为x＋y－2＝0.设圆心C(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①由圆C在y轴上截得的线段长为4，得r2＝(2)2＋a2＝12＋a2.又圆C过点Q，则(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②由①②，得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13＜25，满足题意；当a＝5，b＝4时，r2＝37＞25，不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠2)，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知，OA⊥OB，所以x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，所以x1＋x2＝m＋1，x1x2＝，代入③式，整理得m2－m－12＝0，所以m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ＞0，所以直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3.21．(12分)如图，在五面体ABCD－EF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△CDE是等边三角形，棱EF綊BC.(1)求证：FO∥平面CDE；(2)设BC＝CD，求证：EO⊥平面CDF.(1)证明　取CD的中点M，连接OM，如图，,在矩形ABCD中，OM綊BC，又EF綊BC，所以EF綊OM.连接EM，则四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM.因为FO⊄平面CDE，EM⊂平面CDE，所以FO∥平面CDE.(2)解　连接FM，由(1)知，在等边三角形CDE中，CM＝DM.所以EM⊥CD，且EM＝CD＝BC＝EF.因此▱EFOM为菱形，所以EO⊥FM.因为CD⊥OM，CD⊥EM，OM∩EM＝M，所以CD⊥平面EOM，所以CD⊥EO.又FM∩CD＝M，所以EO⊥平面CDF.22．(12分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解　(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心H(0,3)，半径r＝＝，圆H的方程为x2＋(y－3)2＝10.设圆心H到直线l的距离为d，因为直线被圆H截得的弦长为2，所以d＝＝3.当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝3，显然符合题意；当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k(x－3)，,则＝3，解得k＝，∴直线方程为4x－3y－6＝0.综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，因为点M是线段PN的中点，所以M.又M，N都在半径为r的圆C上，所以即因为关于x，y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(2r＋r)2.又3m＋n－3＝0，所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对任意的m∈[0,1]成立．而f(m)＝10m2－12m＋10在[0,1]上的值域为，故r2≤且10≤9r2.又线段BH与圆C无公共点，所以(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2对任意的m∈[0,1]成立，即r2＜，故圆C的半径r的取值范围为.